多指标综合评价方法及权重系数的选择

综合评价是利用数学方法(包括数理统计方法)对一个复杂系统的多个指标信息进行加工和提炼,以求得其优劣等级的一种评价方法。

1  多指标综合评价方法

1.1  层次分析加权法(AHP法)

该法通过建立目标树,可计算出合理的组合权重,最终得出综合指数,使评价直观可靠。采用三标度(-1,0,1)矩阵的方法对常规的层次分析加权法进行改进,通过相应两两指标的比较,建立比较矩阵,计算最优传递矩阵,确定一致矩阵(即判断矩阵)。该方法自然满足一致性要求,不需要进行一致性检验,与其它标度相比具有良好的判断传递性和标度值的合理性;其所需判断信息简单、直观,作出的判断精确,有利于决策者在两两比较判断中提高准确性。

1.2  相对差距和法

设有m项被评价对象,有n个评价指标,则评价对象的指标数据库为
Kj=(K1j,K2j,„„,Knj),j=1,2,„„,m。设最优数据为K0=(K1、K2、„„Kn)。最优单位K0中各数据的确定如下:高优指标,取所有m个单位中该项评价指标最大者;低优指标,取所有m个单位中该项评价指标最小者。各单位与最优单位的加权相对差距和
为:                  D=∑nj=1WiKi-Kij2Mi
式中Wi为第i 项指标的权系数,Mi为所有单位的第i 项指标数值的中位数。结果按D值大小进行排序,D值越小,该单位越接近最优单位。
该方法直观、易懂、计算简便,可以直接用原始数据进行计算,避免因其它运算而引起的信息损失。该法考虑了各评价对象在全体评价对象中的位置,避免了各被评价对象之间因差距较小,不易排序的困难。

1.3  主成分分析法

该法是将多个指标化为少数几个综合指标,而保持原指标大量信息的一种统计方法。
其计算步骤简述如下:
对原始数据进行标准化变换并求相关系数矩阵Rm×n →求出R的特征根λi及相应的标准正交化特征向量ai → 计算特征根λi的信息贡献率,确定主成分的个数→ 将经过标准化后的样本指标值代入主成分,计算每个样本的主成分得分。
应用本法时,当指标数越多,且各指标间相关程度越密切,即相应的主成分个数越少,本法越优越;对于定性指标,应先进行定量化;当指标数较少时,可适当增加主成分个数,以提高分析精度。采用主成分分析法进行综合评价有全面性、可比性、合理性、可行性等优点,但是也存在一些问题:如果对多个主成分进行加权综合会降低评价函数区分的有效度,且该方法易受指标间的信息重叠的影响。
潘石柱等则提出一种将GHA(generalized hebbian algorithm)学习规则应用到核主成分分析的新方法,它结合了核主成分分析和GHA学习规则的优点,既利用了核主成分分析的方法方便地提取数据的非线性特征,又避免了在大样本数据的情况下运算复杂和存储空间大的问题。

1.4  TOPSIS法

该法是基于归一化后的原始数据矩阵,找出有限方案中的最优方案和最劣方案,然后获得某一方案与最优方案和最劣方案间的距离(用差的平方和的平方根值表示),从而得出该方案与最优方案的接近程度,并以此作为评价各方案优劣的依据。其具体方法和步骤如下:
评价指标的确定→将指标进行同趋势变换,建立矩阵→ 归一化后的数据矩阵→确定最优值和最劣值,构成最优值和最劣值向量→ 计算各评价单元指标与最优值的相对接近程度→排序。
指标进行同趋势的变换的方法:根据专业知识,使各指标转化为“高优”,转化方法有倒数法(多用于绝对数指标)和差值法(多用于相对数指标)。但是该法的权重受叠代法的影响,同时由于其对中性指标的转化尚无确定的方法,致使综合评价的最终结果不是很准确。
侯志东等提出的基于Hausdauff度量的模糊Topsis方法,首先通过模糊极大集和模糊极小集来确定模糊多属性决策问题的理想解与负理想解,再由Hausdauff度量获得不同备选方案到理想解与负理想解的距离及其贴近度,根据贴近度指标对方案进行优劣排序。该方法思路清晰,计算简单,操作比较容易。
刘继斌等在Topsis法中引入指标权重,用属性AHM赋权法求指标权重,再用Topsis法进行综合评价。结果显示基于属性AHM的Topsis综合评价既考虑了参评指标的重要性,又体现了Topsis法能充分利用数据资料的优点,原理简明,结果准确,使用方便。  

1.5  RSR值综合评价法(秩和比法)

 把各指标值排序(排“秩”R),仅以“秩”R来计算。当指标“高优”时,按“升序”排序,最小值为1,即R值最高者最优;当指标“低优”时,按“降序”排序,最大值为1,即R值最低者最优。当各指标的“秩”相加时,累加和最大者则最优。
该方法以实际资料作为计算基础,较为客观,它在算法上是将原始数据转化为序值,虽计算简单,但未充分利用资料的原始信息。当各指标的“秩”相加时,“秩和”(ΣR)最大者则为优;当m为指标数,n为参加排序的单位数,则按下式计算RSR值:
RSR=ΣR/(mn)。

1.6  全概率评分法 

设Bi为第i号试验,Aj为第j个指标,i=1,2,„„,k,且A1、A2„„、An互不相容,又设各指标的重要程度之比为A1:A2„„:Ak=m1:m2„„:mk, 则
P(Aj)=mj/N,  j=1,2,„„k
以Xij表示第j个指标下的第i个测定值,以Sj 表示第j个指标下各次试验结果的和,即

Sj=Σni=1Xij    i=1,2„„n;  j=1,2„„k   则P(Bi/Aj)=Xij/Sj
全概率公式为:
P(Bik j=1)=ΣP(Aj)P(Bi/Aj) , i=1,2„„n;j=1,2„„k

根据专业知识,公式分越大或越小越优。  

1.7  人工神经网络

神经网络是建立以权重描述变量与目标之间特殊的非线性关系模型,对事物的判断分析必须经过一个学习或训练过程,类似于人脑认识一个新事物必须有一个学习过程一样,神经网络通过一定的算法进行训练,将反馈传播(BP)算法引入神经网络中,很好地实现了多层神经网络的设想。与传统的计算机方法相比,具有大规模信息处理、分布式联想存储、自适应学习及自组织的特点;作为一个高度的非线性动态处理系统,既可处理线性问题,又可处理非线性问题,且具有很强的容错能力。在求解问题时,对实际问题的结构没有要求,不必对变量之间的关系作出任何假设,只需利用在学习阶段所获得的知识(分布式存储于网络的内部),对输入因子进行处理,就可得到结果。这种处理方式更符合客观实际,因而得到的结果可靠性更大。

1.8  简易公式评分法

化多指标为单指标 → 确定权重系数 → 按公式计算分数。
简易综合公式:dij=b1aij/s1+b2bij/s2+b3cij/s3
式中aij、bij、cij分别为第i项的第 j 个指标,s1、s2和s3分别为样本的标准差,b1、b2和b3分别为权重系数。

1.9  蒙特卡罗模拟综合评价法

利用蒙特卡罗模拟技术将原序数关系的目标属性转化为一系列的目标属性向量。对于每一权重向量,利用加权法对方案(评价对象)进行排序,得到一系列排序向量,再统计每个方案排在各个排序位次上的次数,进而求出相应比例。
一般步骤如下:根据各指标属性,进行数据生成(生成的数据应满足无量纲化、标准化和测度统一化)→ 产生随机重向量→ 计算加权值→排序向量。

 1.10  模糊综合评判法

应用模糊关系合成的特性,从多个指标对被评价事物隶属等级状况进行综合性评判的一种方法,它把被评价事物的变化区间作出划分,又对事物属于各个等级的程度作出分析,使得描述更加深入和客观。
 一般步骤如下:确定评价事物的因素论域→选定评语等级论域→建立模糊关系矩阵→确定评价因素权向量→ 选择合成算子→ 得到模糊评判结果向量→ 进一步分析处理。
  该法的优点是:数学模型简单,容易掌握,对多因素多层次的复杂问题评判效果比较好。在实际应用中,采用模糊综合评判法能够得到全面和合理的评判结果。

 1.11  灰关联聚类法

 该法把灰关联聚类分析和聚类思想方法进行融汇、扩充,将关联度的数值演化成评估对象的亲和度 而用于聚类分析。
设待分析评价系统Si(i=1,2,„„,m),特征参量(指标)序列为Xi,
Xi=(Xi1,Xi2,„„,Xin)
又有参考特征参量(指标)序列X0
X0=(X01,X02,„„,X0m)
参考序列的确定:对于指标越大越好的指标,则:
X0j=max(Xij)  (j=1,2,„„,n)
对于指标越小越好的指标,则:
X0j=mini∈I(Xij)
该法的步骤:聚类基础的构成→ 灰色相似矩阵的建立→ 聚类分析
该法对原始数据进行统一测度和同一化处理,消除了不同指标量纲的影响,能定量反映不同评价单元的优劣程度,直观可靠,权的取值在0与1之间,该值越接近1,反映所评价单元越接近最优水平的程度越高;反之,该值越接近0,反映所评价单元越接近最劣水平的程度越高。本法既适合大样本,也适合小样本的评价系统。  

1.12  因子分析法(FA)

  因子分析法(factor analysis)是由心理学家Charles Spearman首先提出的。目前,该方法在自然科学领域中的应用越来越广泛,它的基本思想是通过对原始指标相关矩阵内部结构的研究,找出能控制所有指标少数几个不可观测的公因子(彼此之间不相关),每个指标可以近似表示成公因子的线性组合,以较少的公因子来代替多个指标从而达到简化分析的目的。同时根据不同因子以及进一步旋转,可以对指标进行较为科学和清晰的分类。根据变量间的相关性大小,把变量分组,使得同组内变量之间的相关性较高,但不同组内变量之间的相关性较低。每组变量代表一个基本结构,这个基本结构称为公共因子。设有P维随机向量X=X(X1,X2,„„,Xp)′,其均值向量为μ=(μ1,μ2,„μp)′,协方差矩阵为∑=(σij)p×p,可以设想这个P指标主要受到m(m≤p)个公共因子F1,F2,„,Fm的影响,且Xi是F1,F2,„,Fm的线性函数,即Fi对各指标的影响是线性的,则有因子模型:
X1=a11F1+a12F2+ „ +a1mFm+ε1
X2=a21F1+a22F2+ „ +a2mFm+ε2             „ „ „
Xp=ap1F1+ap2F2+ „ +apmFm+εp
简记为:X=AF+ε
其中F=(F1,F2,„,Fm)′为公共因子,ε=(ε1,ε2,„εm)′为特殊因子,F与ε均为不可观测的随机变量,A= (aij)p×m为因子载荷矩阵,aij称为第j个因子对第i个变量的载荷系数。在模型中,特殊因子起着残差的作用,且他们彼此不相关且与公共因子也不相关。每个公共因子假定至少对2个变量有贡献,否则它将是一个特殊因子。
采用该方法所得的分析结果受到原始指标间相关程度均衡性的影响,且因为因子得分是估计值,其综合评价值不如主成分分析所得综合评价值准确。  

1.13  功效函数法

功效函数法是根据多目标规划原理提出来的,其基本思想是通过功效函数将不同量纲的各指标实际值转化为无量纲的功效系数,再根据各指标的权重关系得到综合评价值,以综合评价值作为综合评价的依据。
首先采用专家打分法、类比函数法把定性指标作量化处理得到aij→依据指标类型选择公式(1)(2)(3)把有量纲值化为无量纲值rij →依据指标的权重(uj)、根据公式(4)得各方案的综合权值,根据c(Ai)的大小进行比较。
设{Xij}表示第i个样本的第j项指标的实际值(i=1,2,„,n;j=1,2,„,m),取第j个指标的最大值rmax,j=max(rij)与第j个指标的最小值rmin,j=min(rij),构造功效函数如下:
dij=rij/rmax,j    {Xij}  越大越好 (1)
dij=1+rmin,j/rmax,j-rij/ rmax,j   {Xij}越小越好    (2)   dij=rij/r1 {Xij}
1不能偏大也不能偏小 (3)
1+(r2-rij)/rmax,j   应保持在范围[r1,r2]中

其中rij=aij/(aij2)1/2。
c(Ai)=∑nj=1uj·dij(4)
该方法直观明了,可使不可比的、相互补的指标,按照某种规则成为相互可比的量化指标;同时又兼顾了各指标在评价中的重要程度。  

1.14  综合指数法

综合指数(syntheticac index)是编制总指数的基本形式,把不同性质、不同类别、不同计量单位的工作指标经过指数化变成指数,按照同类指标相乘、异类指标相加的方法进行指标综合,然后比较。具体方法有加权线性和法、乘法合成法、混合法等。首先要选择适当的指标,确定权重后依据下列公式把指标进行指数化:
高优指标指数化计算公式:Yj=Xj/Mj
低优指标指数化计算公式:Yj=Mj/Xj
然后按照同类指标指数相乘、异类指标指数相加的方法进行指数综合得出I值进行比较。
I=∑mi=1∏nj=1Yij
该法原理简单,无需复杂的运算,易于操作。对数据的分布、指标的多少无严格要求,适用范围广。对原始数据进行相对化处理,消除了不同指标量纲的影响。但是由于权重作用较明显,易夸大权重大的因素和掩盖权重小的因素的作用。  

1.15  密切值法

密切值法是多目标决策中的一种优选方法,它将评价指标区分为正向指标和负向指标并结合在一起考虑,所有指标进行同向化处理,然后找出各评价指标的“最优点”和“最劣点”,分别计算各评价单元与“最优点”和“最劣点”的距离(即密切程度) ,将这些距离转化为能综合反映各样本质量优劣的综合指标—密切值,最后根据密切值大小确定各评价单元的优劣顺序。
该法逻辑严谨,计算简便,可用于同一时间各指标的横向评价,也可用于同一指标不同时间的纵向评价。多指标把正向指标和负向指标结合起来考虑,提高了分析效能,同时引用自身内部指标作参比,使评判结果更为全面、合理。另外,该法较好地将多指标中相互冲突的项目结合在一起。但由于该法缺乏对评价指标进行权重估计,因而其评价结果客观性不高。

2  权重系数的选择

权重系数是指在一个领域中,对目标值起权衡作用的数值。权重系数可分为主观权重系数和客观权重系数。主观权重系数(又称经验权数)是指人们对分析对象的各个因素,按其重要程度,依照经验,主观确定的系数,例如Delphi法、AHP法和专家评分法。这类方法人们研究的较早,也较为成熟,但客观性较差。客观权重系数是指经过对实际发生的资料进行整理、计算和分析,从而得出的权重系数,例如熵权法、标准离差法和CRITIC法;这类方法研究较晚,且很不完善,尤其是计算方法大多比较繁琐,不利于推广应用。  

2.1  专家咨询权数法(特尔斐法)[23]
该法又分为平均型、极端型和缓和型。主要根据专家对指标的重要性打分来定权,重要性得分越高,权数越大。优点是集中了众多专家的意见,缺点是通过打分直接给出各指标权重而难以保持权重的合理性。  

2.2  因子分析权数法[24]
根据数理统计中因子分析方法,对每个指标计算共性因子的累积贡献率来定权。累积贡献率越大,说明该指标对共性因子的作用越大,所定权数也越大。  

2.3  信息量权数法[24]
根据各评价指标包含的分辨信息来确定权数。采用变异系数法,变异系数越大,所赋的权数也越大。
计算各指标的变异系数CV=s/,将CV作为权重分值,再经归一化处理,得信息量权重系数。

2.4  独立性权数法[25]
利用数理统计学中多元回归方法,计算复相关系数来定权的,复相关系数越大,所赋的权数越大。
计算每项指标与其它指标的复相关系数,计算公式为R=(SS回/SS总)1/2,R越大,重复信息越多,权重应越小。取复相关系数的倒数作为得分,再经归一化处理得权重系数。

2.5  主成分分析法
一种多元分析法。它从所研究的全部指标中,通过探讨相关的内部依赖结构,将有关主要信息集中在几个主成分上,再现指标与主成分的关系,指标Xj的权数为:
wj=dj·bij∑mj=1dj·bij
其中bij为第i个主成分与第j个因素间的系数,di=λi/Σλk为贡献率。

2.6  层次分析法(AHP法)[25]
层次分析法是一种多目标多准则的决策方法,是美国运筹学家萨迪教授基于在决策中大量因素无法定量地表达出来而又无法回避决策过程中决策者的选择和判断所起的决定作用,于20世纪70年代初提出的。此法必须将评估目标分解成一个多级指标,对于每一层中各因素的相对重要性给出判断。它的信息主要是基于人们对于每一层次中各因素相对重要性作出判断。这种判断通过引入1~9比率标度进行定量化。该法的优点是综合考虑评价指标体系中各层因素的重要程度而使各指标权重趋于合理;缺点是在构造各层因素的权重判断矩阵时,一般采用分级定量法赋值,容易造成同一系统中一因素是另一因素的5倍、7倍,甚至9倍,从而影响权重的合理性。  

2.7  优序图法[26]
设n为比较对象(如方案、目标、指标)的数目,优序图是一个棋盘格的图式共有n×n个空格,在进行两两比较时可选择1,0两个基本数字来表示何者为大、为优。“1”表示两两相比中相对“大的”、“优的”、“重要的”,而用“0”表示相对“小的”、“劣的”、“不重要的”。以优序图中黑字方格为对角线,把这对角线两边对称的空格数字对照一番,如果对称的两栏数字正好一边是1,而另一边是0形成互补或者两边都为0.5,则表示填表数字无误,即完成互补检验。满足互补检验的优序图的各行所填的各格数字横向相加,分别与总数T(T=n(n-1)/2)相除就得到了各指标的权重。  

2.8  熵权法[27]
熵最先由申农引入信息论,现已在工程技术、社会经济等领域得到比较广泛的应用。其基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。一般来说,某个指标的信息熵Ej越小,表明指标值的变异程度越大,提供的信息量越多,在综合评价中所起的作用越大,其权重也越大。相反,某个指标的信息熵Ej越大,表明指标值的变异程度越小,提供的信息量越少,在综合评价中所起的作用越小,其权重也越小。把实际数据进行标准化后转变为标准化数据dij后,依据以下公式计算第j项指标的信息熵:
Ej=-(lnm)-1∑mi=1pijlnpij
其中m为被评价对象的数目,n为评价指标数目,并且pij=dij∑mi=1dij,如果pij=0,则定义limpij→0pijlnpij=0。利用熵计算各指标客观权重公式为:   wj=1-Ejn-∑nj=1Ej   j=1,2,3„„n  

2.9  标准离差法[28]
标准离差法的思路与熵权法相似。通常,某个指标的标准差越大,表明指标值的变异程度越大,提供的信息量越多,在综合评价中所起的作用越大,其权重也越大。相反,某个指标的标准差越小,表明指标值的变异程度越小,提供的信息量越少,在综合评价中所起的作
wj=σj∑nj=1σj  j=1,2,3,„„n  

2.10  CRITIC法[29]
CRITIC(criteria importance through intercriteria correlation)法的基本思路是确定指标的客观权数以评价指标间的对比强度和冲突性为基础。对比强度以标准差的形式来表现,即标准差的大小表明在同一指标内,各方案取值差距的大小。标准差越大,各方案之间取值差距越大。而各指标间的冲突性是以指标之间的相关性为基础。若两个指标之间具有较强的正相关,说明两个指标冲突性较低。第j个指标与其它指标冲突性的量化指标为,∑nt=1(1-rij)其中rij为评价指标t和j之间的相关系数。设Cj表示第j各指标所包含的信息量,则Cj可表示为:
Cj=σj∑nt=1(1-rij)    j= 1,2,3,„„n
Cj越大,第j个评价指标所包含的信息量越大,该指标的相对重要性就越大。第j个指标的客观权重Wj应为:  wj=Cj∑nj=1Cj   j= 1,2,3,„„n
该法既考虑了指标变异大小对权重的影响,又考虑了各指标间的冲突性。当标准差一定时,指标间的冲突性越小,权重越小;冲突性越大,权重也越大。但是值得注意的是如果两个指标间的冲突性较小,则表示两个指标在评价方案的优劣上反映的信息有较大的相似性。对指标较多的项目进行评价时,可在正相关较高的几个指标中去除一些指标,以减少计算量而不会对评价结果产生很大的影响。  

2.11  非模糊数判断矩阵法[10]
非模糊数判断矩阵法是通过把三角模糊数判断矩阵转化为非模糊数,将新矩阵调整为互反矩阵,同时对其一致性进行检验,再利用AHP法来确定权重的一种方法。
设三角模糊数M1=(l1,m1,u1),M2=(l2,m2,u2) →建立单位模糊判断矩阵→集结单位模糊判断矩阵建立三角模糊判断矩阵→将三角模糊数转化为非模糊数→对互反性进行调整运用AHP法计算即可得到评价因素的权重集。
该方法以三角模糊数判断矩阵为基础,通过一系列的数学处理转换,得到模糊综合评价因素权重,使确定因素权重过程中的主观判断更符合人们的思维习惯与表达方式,在一定程度上改善了传统模糊综合评价的某些缺陷,使该方法的准确性和有效性得到一定的提高。  

2.12  其它
。通过如下公式计算关于每个指标
j=∑mi=1aij/k,j表示第j个指标的平均权重,k是专家的总人数。
再根据公计算原始权重的偏移值aij*:aij*=|aij-j|
由于偏移量越小,指标权重在实际权重中所占比例越大,通过设
ij*=maxi aij*-aij*maxi aij*maxi-aij*
ajo=∑mi=1(aijij*)∑mi=1ij*
对Ao=[a1o,a2o,a3o„„amo]进行归一化处理即可得到新的权重aj:
αj=aj=ajo∑ni=1ajo。
该法计算简单易行,与其它方法相比较更加客观。        

3  展望

由于计算机的发展及一些相关领域的不断深入研究,综合评价方法得到了不断的发展和改进。不同评价方法的区别重点在于其进行无纲量化所选用的公式、综合指标的合成方法和确定指标权重的方法。但是如何使综合评价更加客观、准确,仍需要进一步的研究。而2种或2种以上的评价方法的联用成为当今综合评价方法的又一大热点。例如主成分分析法与因子分析法的相互联用[32]、Delphi法和Topsis法联用[33]等方法的应用。不同方法的联用可以互相弥补不足,同时又发挥自身的优点,使得综合评价更具有科学性、客观性和准确性。

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